Proste transformacje dwuwymiarowych kształtów

Zobacz też: Właściwości wielokątów

Płaskie kształty w dwóch wymiarach (na przykład narysowane na płaskiej kartce papieru) mają mierzalne właściwości poza fizycznymi pomiarami długości boków, kątów wewnętrznych i powierzchni. Mogą przejść przemiany , dzięki czemu mogą zmienić położenie, rozmiar lub „proporcje” (jak wysokie i cienkie lub krótkie i szerokie są).

Ta strona eksploruje kongruencja, symetria, odbicie, translacja i rotacja . Te koncepcje dotyczą kształtu kształtu pozycja zmienia się względem odniesienia, takiego jak linia lub punkt.

Z takimi pomysłami mamy do czynienia regularnie w życiu codziennym, we wszystkim, od projektowania produktu, przez architekturę i inżynierię, po zdarzenia w świecie przyrody. Nawet dopasowanie wzoru na rolce tapety wiąże się z tymi geometrycznymi pomysłami.




Stosowność

Matematyka jest pełna złożonej terminologii, ale czasami skomplikowany termin może oznaczać coś naprawdę prostego. Dotyczy to zgodności.



Są to dwa kształty przystający, zgodny mieć ten sam rozmiar i taki sam kształt . To takie proste!

Na poniższym schemacie kształty DO , b , do i re są przystające. Kształty E, F, G i H nie są przystające.

Stosowność

Kształty mogą być przystające, nawet jeśli zostały obrócone lub odbite.


Weź kawałek kalki kreślarskiej i narysuj kształt A. Odrysowany kształt można nanieść dokładnie ponad kształtem B. Musisz obracać się pod kątem 90 °, ale nadal jest taki sam.

Aby dopasować wykreślony kształt A do kształtu C, należy odwrócić kalkę kreślarską. To jest odbicie kształtu A, ale nadal jest taki sam.

Następnie, jeśli nieco go obrócisz, osiągniesz kształt D.



Teraz weź wykreślony kształt A i spróbuj dopasować go dokładnie do kształtów E, F G i H. Nie ma znaczenia, ile razy obrócisz lub przewrócisz papier, nie będzie pasował dokładnie. Dlatego kształty te nie mogą być opisane jako przystające do kształtów A, B, C i D.

Kongruencja jest porównawcza


Kształt A nie może być sam w sobie opisany jako „przystający”. Jeśli spojrzysz na sam kształt A, możesz powiedzieć, że jest to nieregularny sześciokąt i możesz zmierzyć jego obwód i powierzchnię. Jednak nie można go opisać jako przystającego, dopóki nie ma innego kształtu, z którym można go porównać.

Na przykład kształt G nie jest zgodny z żadnym innym kształtem na naszym diagramie. Ale jeśli masz grupę kształtów, które są takie same jak kształt G, wówczas kształt G byłby zgodny ze wszystkimi tymi kształtami.


Symetria

Kształt można opisać jako symetryczny jeśli ma właściwość, którą matematycy nazywają symetria .



Najprostszą formą symetrii jest symetria linii .

Symetria liniowa jest formą odbicie (co jest omówione w dalszej części tej strony) i czasami jest określane jako lustrzana symetria . Oznacza to, że gdybyś miał umieścić lustro wzdłuż linii symetrii, to odbicie kształtu w lustrze byłoby identyczne z kształtem bez lustra na miejscu.

Na przykład litera A ma pojedynczą pionową linię symetrii, od wierzchołka do podstawy:

Symetria kapitału A.



Kształty mogą mieć wiele linii symetrii. W rzeczywistości, w przypadku wielokątów regularnych liczba linii symetrii jest taka sama, jak liczba boków kształtu . Zatem sześciokąt (sześć boków) ma sześć linii symetrii, a dwunastokąt (12 boków) ma 12 linii symetrii. Dlatego okrąg ma nieskończoną liczbę linii symetrii.

Linie symetrii

Asymetria

jak wziąć średnią z czegoś

Jeśli kształt nie ma żadnych linii symetrii, takich jak kształt w przykładzie kongruencji, jest opisywany jako asymetryczny . Dotyczy to również trapezu i równoległoboku pokazanych na powyższym schemacie.

Inną popularną formą symetrii jest symetria obrotowa . Jeśli coś obrócisz, po prostu to obrócisz. To samo dotyczy symetrii obrotowej - kształt jest obracany dokładną liczbę razy wokół punktu .

Plik rząd symetrii obrotowej jest liczba powtórzeń kształtu w jednym pełnym obrocie . Powtórzenia są zawsze pod regularnymi kątami, jak boki w regularnym wielokącie.

Logo recyklingu - symetria obrotowa.

Najpowszechniej rozpoznawanym przykładem symetrii obrotowej jest prawdopodobnie symbol recyklingu z trzema strzałkami.

To znane logo ma rozszerzenie symetria obrotowa rzędu 3 , tj. kształt jest powielany trzykrotnie po obróceniu wokół środka logo.

Każdy kształt może mieć symetrię obrotową - poniższy diagram przedstawia kształt A z naszego przykładu kongruencji z rozszerzeniem zamówienie 4 :

Symetria obrotowa

Odbicie

W powyższej sekcji dotyczącej symetrii lustra dowiedzieliśmy się, że jeśli lustro jest umieszczone wzdłuż linii symetrii, to odbity obraz wygląda tak samo, jak obraz bez lustra. To jest szczególny rodzaj refleksji. ZA linia lustrzana lub linia refleksji może istnieć w dowolnym miejscu względem kształtu, a nie tylko wzdłuż linii symetrii. Obraz kształtu po drugiej stronie linii lustra jest jego odbicie .

Na poniższym schemacie DO to oryginalny kształt. Najłatwiejszą do zrozumienia refleksją jest kształt DO odbija się w pionowej linii lustra, która jest równoległa do jego najdłuższego boku. Odbity kształt to b .

Linię lustra można umieścić w dowolnym miejscu i pod dowolnym kątem w stosunku do pierwotnego kształtu. Przekątna linia zwierciadła przebiega pod kątem około 45 ° do najdłuższego boku kształtu DO a odbitym kształtem jest do .

Transformacja kształtu: kształt odbity na pionowej i ukośnej linii lustra.

Rysowanie odbitych kształtów

Kiedy musisz narysować odbicie kształtu na stronie, możesz zorientować się, jak będzie wyglądać za pomocą lustra.

Możesz prześledzić swój obraz na kalce kreślarskiej, a następnie złożyć papier wzdłuż linii odbicia (lub linii lustra), a następnie prześledzić odbicie. Ale jeśli chcesz to dokładnie narysować, będziesz potrzebować papieru milimetrowego i logicznego podejścia.

Jak narysować odbicia w poprzek linii lustra.

Na powyższym diagramie oryginalny trójkąt jest oznaczony jako ABC. Linia lustra jest rysowana na czerwono i jest opisana linia refleksji .
Trójkąt ABC odbity w linii lustra to trójkąt A’B’C ”.

Zasady refleksji

  • Każdy punkt i jego odbicie są dokładnie w tej samej odległości od linii lustra.

  • Linia łącząca punkt z jego odbiciem jest prostopadła (pod kątem prostym) do linii lustra.


Na schemacie linia łącząca punkt A z A ’nazywa się a linia konstrukcyjna i ilustruje następujące zasady: Odległość między punktem A a linią zwierciadła jest taka sama, jak odległość między punktem A ’a linią zwierciadła; a linia konstrukcyjna jest prostopadła do linii lustra (pokazanej przez mały kwadrat w jego środku).

Podczas rysowania odbitego kształtu należy zastosować następujące systematyczne podejście:

  • Zacznij od jednego narożnika (w naszym przykładzie punkt A) i narysuj linię konstrukcyjną z tego punktu przez linię odbicia. Użyj kątomierza lub ustalonego kwadratu, aby upewnić się, że ta linia jest prostopadła do linii lustra.

  • Dokładnie zmierz odległość wzdłuż linii konstrukcyjnej od punktu (A) do linii lustra i zanotuj pomiar. Rozpoczynając od punktu, w którym linia konstrukcyjna i linia lustra przecinają się (krzyż), teraz zmierz tę samą odległość wzdłuż linii konstrukcyjnej po przeciwnej stronie linii lustra i narysuj w tym miejscu kropkę. To jest twój punkt A ”.

  • Powtórz ten proces dla punktów B i C (lub więcej, w zależności od kształtu), a następnie ostrożnie połącz odbite punkty w kolejności, w jakiej je narysowałeś, aby utworzyć odbity kształt.

To wszystko brzmi bardzo podstępnie, ale z praktyką staje się łatwiejsze. Doskonalenie umiejętności przestrzennych może być zabawnym ćwiczeniem.


Tłumaczenie

Tłumaczenie to kolejny z terminów matematycznych, który brzmi znacznie trudniej niż w rzeczywistości. W rzeczywistości jest to naprawdę proste!

Tłumaczenie to ruch kształtu z jednego miejsca do drugiego bez rotacji lub odbicia.

Oznacza to, że jeśli każdy punkt pierwotnego kształtu porusza się po linii prostej, dokładnie w tej samej odległości i dokładnie w tym samym kierunku (pod tym samym kątem), to jest to tłumaczenie tego kształtu.

Tłumaczenie kształtu

Powyższy diagram ilustruje tłumaczenie - każdy punkt w kształcie po lewej stronie jest przesunięty o cztery kwadraty w prawo.

Jednak poniższego diagramu nie można opisać jako tłumaczenia, ponieważ jest to kształt obie przetłumaczone (przeniesione w linii prostej) i obrócony:

To nie jest tłumaczenie - przetłumaczone i obrócone.

Uwaga o wektorach


Na poniższym diagramie każdy punkt na oryginalnym kształcie to przetłumaczony pięć kwadratów po prawej i dwa kwadraty pionowo w dół:

Przykład wektora kolumnowego

Narzędzie matematyczne zwane a kolumna wektor można użyć do opisania tego tłumaczenia. To są dwie liczby w nawiasach ustawione pionowo (w kolumnie).

Tak więc ( begin {bmatrix} 5 \ -2 end {bmatrix} ) to translacja o 5 jednostek w prawo i 2 jednostki w dół.

Wektory są przedstawiane w postaci ( begin {bmatrix} x \ y end {bmatrix} )

Gdzie (x ) jest osią poziomą (dodatnie tłumaczenia w prawo, ujemne w lewo) i (Y ) jest osią pionową (dodatnia w górę, ujemna w dół, stąd translacja dwóch jednostek w dół jest zapisywana −2).

Więcej informacji (x ) i (Y ) osie, zobacz naszą stronę na współrzędne kartezjańskie .

Wektory są niezwykle przydatne w matematyce, ponieważ są w stanie opisać rzeczy, które mają zarówno wielkość, jak i kierunek . Wektory są bardzo ważne w wielu zastosowaniach, a badanie ruchu jest przykładem. W tym przypadku ilości wektorowe obejmują prędkość , przyśpieszenie , siła , przemieszczenie i pęd .


Obrót

W powyższym przekroju symetrii obrotowej odkryliśmy pojęcie obrotu kształtu. W przypadku symetrii obrotowej kształt był obracany i powtarzany w precyzyjnych odstępach kątowych wokół jego środka.

Obrót o kształcie bez symetrii może przechodzić pod dowolnym kątem, zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wokół jednego punktu. Ten punkt jest ważny i nazywa się środek obrotu .

Poniższy diagram przedstawia trójkąt prostokątny A obrócony wokół punktu O. Trójkąt B wygląda tak, jak wygląda, gdy jest obrócony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o 90 °. Trójkąt C to trójkąt A obrócony zgodnie z ruchem wskazówek zegara o 180 °.

Obrót. Diagram przedstawiający trójkąt prostokątny obrócony o 90 i 180 stopni.

Zasada rotacji:


Odległość dowolnego punktu kształtu od środka obrotu zawsze pozostaje taka sama.

Więc gdybyś wziął kompas, umieścił jego punkt w środku obrotu i połącz wierzchołek każdego z trójkątów na powyższym schemacie, wtedy narysowałbyś idealny okrąg - jak wskazuje czerwone kółko.


Wniosek

Dwuwymiarowe kształty rzadko występują w izolacji w świecie rzeczywistym, ale są powtarzane, odbijane, tłumaczone i obracane. To właśnie matematycy nazywają transformacjami. Znajdziemy przykłady we wszystkim, od logo produktów po ogromne konstrukcje inżynieryjne i arcydzieła architektury.

Istnieje wiele bardziej złożonych matematycznie typów transformacji, w przypadku których przydatne stają się bardziej zaawansowane koncepcje, takie jak wektory. Chociaż ta strona zawiera tylko wprowadzenie do niektórych podstawowych pojęć, mam nadzieję, że pozostawiło Ci wiele do zrobienia ODZWIERCIEDLIĆ na!


Kontynuuj:
Obliczanie powierzchni
Kąty